Limites

Bibliografía de autor

Robert De Jesús Oñate Barros. Nacido en Riohacha capital de La Guajira, el 13 de febrero del 2003, es un chico que actual mente tiene 17 años, que actual mente vive en un corregimiento de Riohacha llamado camarones y estudiante de ingeniera mecánica en la universidad de La Guajira.

Video de presentación

Introducción a limites 

En el presente blog, se enseñara barios criterios que competen al los limites matemáticos. Un limite es la noción de aproximación de un punto en un grafica de una función, a medida que los valores de la función se vallan a aproximando a un valor en concreto.

El limite se inicio en el siglo XIX, pero se dio a conocer mas en el siglo XX en los setenta donde comenzó a ser agregada a los libros de matemáticas por su relación con lis temas de sucesión o función y e variables.

Objetivos Específicos

• Definir el concepto de limites 
• Reconocer cuando un limites existe y cuneado no
• Reconocer si un limites tiene asíntotas de cualquier tipo  

Concepto de limites 

El limite de un funcion es el valor al que tiende esta cuando la variable independiente tiende a un valor a y se escribe:

En el caso de existir este limite, este es único "primera de las propiedades de los limites, que después las mencionare"

no necesariamente se cumple que:

Una funcion tiene limite si existen los dos limites laterales y estos coinciden, los limites laterales corresponden a limite por la izquierda y el limite por la derecha.

El limite por la izquierda nos dice que a medida que vamos tomando valores próximos a a, pero menores que este y se escribe:

El limite por la derecha nos dice que a medida que vamos tomando valores próximos a a, pero mayores que este y se escribe:

Un ejemplo seria; tomamos la función f(x)=x'2+1 , buscamos el limites laterales de dos:

limite por la izquierda:

también podemos realizar un tabla de valores 

como se puede ver en x estamos tomando valores menores a dos y también podemos ver que el limite lateral por la izquierda de la función f(x)=x'2+1 es 5

limite por la derecha:

Esta es su tabla 

Como podemos ver en x cada vez vamos agarrando números mayores que dos, también podemos ver que el limite lateral por la derecha de f(x)=x'2+1 es cinco. Ya teniendo los dos limites laterales podemos decir que el limite de la función f(x)=x'2+1 es 5.

Propiedades de los limites 

Las propiedades de los limites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el calculo del limite de una función mas compleja, también denominado algebra de los limites.

• Unicidad del limite: cuando el limite existe, el limite es único

• Propiedad de la suma: El limite de la suma es la suma de los limites.

• Propiedad de la resta: El limite de la resta es la resta de los limites.
  
• Propiedad del producto: El limite del producto es el producto de los limites.
  
• Propiedad de la función constante: El limite de una función constante es esta misma constante.

• Propiedad del factor constante: En un limite de una constante multiplicada por una función se puede sacar la constante del limite sin que se afecte el resultado.

• Propiedad del cociente: El limite de un consiente de dos funciones es el cociente de los limites de las mismas.

• Propiedad de la función potencial: El limite de un función potencial es la potencia del limite de la base elevado al exponente.

Limites infinitos

Se dice que existe el limite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos.

Veamos un caso, con un limite infinito en la siguiente función:

Su limite cuando la variable tiende a 2 es

Se puede comprobar si damos valores a la x cada vez más cercanos a 2, tanto acercándonos por su izquierda como por la derecha, como se ve en la siguiente cuadro:

Así quedaría la grafica de esta función:

Unas funciones con un limite infinito pueden crecer más rápidamente que otras, conforme la variable x se acerca al valor del limite.

Limites al infinito

Un limite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo con en negativo, como queramos.

Veamos un caso, con un limite al infinito en la siguiente función:

Su limite cuando la variable tiende a 2 es:

Se puede comprobar si damos valores a la x cada vez mas cercanos a +∞, como se ve en el siguiente cuadro y su grafica, el limite tiende a 1:

Limites indeterminados 

Los limites indeterminados o indeterminaciones nos indican que el limite no existe, sino que no se puede anticipar el resultado, se tendrá que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación y averiguar entonces el valor del limite.

Una indeterminación aparece cuando, al sustituir el valor de la variable x de la expresión por el valor del limite al que tiende esta, se convierte en una de los siguientes casos:

El siguiente limite, por ejemplo es indeterminado:

Las formas para eliminar una indeterminación son factorización, racionalización y funciones trigonométricas.

Asíntotas de una función

Una asíntota de una función es una recta en el plano tal que una rama de la función f(x) que crece infinitamente en el sentido x, dicho de otra manera, una asíntota es la tangente a una rama de la función en el infinito.

Asíntota horizontales

Una recta es una asíntota horizontal de una función f(x) si cumple al menos una de las siguientes condiciones 

la ecuación de una asíntota horizontal es:

Por ejemplo esta función racional con única asíntota horizontal en y=1

Sin embargo, en funciones con radicales pueden aparecer dos asíntotas horizontales diferentes, como en la figura:

En algunos casos, una asíntota horizontal puede cortar a la grafica de su función en uno o mas puntos:

Asíntotas verticales

Una recta es una asíntota vertical de una función f(x) si cumple al menos una de las cuatro condiciones siguientes:

Las condiciones (1) y (2) se verifica cuando la recta es una asíntota hacia arriba, las condiciones (3) y (4) se verifica cuando la recta es una asíntota hacia abajo.

Las condiciones (1) y (2), las (3) y (4), la (1) y la (4) o la (3) y (2) se pueden verificar simultáneamente. incluso en una misma función puede hacer asíntotas horizontales.

En la imagen aparece un función que cumple las cuatro condiciones de una asíntota vertical mas una horizontal:

Asíntota oblicuas

La asíntota oblicua de una función f(x) son rectas con ecuación y=px+q

que existirán si se cumple que hayan, al menos, uno de estos dos limites:

En la primer caso, se dice que existe una asíntota oblicua por la derecha

En el segundo caso, se dice que existe una asíntota oblicua por la izquierda

Necesitamos, en cada caso, saber la ecuación de la recta de cada asíntota oblicua, hay que averiguar el parámetro p "pendiente de la recta" y el q "punto de corte con el eje de ordenadas"

El cálculo de la pendiente p se obtiene de uno de estos dos limite:

Dependiendo del valor de p obtenido puede ocurrir que.

1. Si p es un numero real diferente de cero, existe asíntota oblicua.
2. Si el valor de p=±∞ no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es de tipo de la parábola vertical.
3. Si el valor de p=0; no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es de tipo de la parábola horizontal.

Si este límite es finito, existe la asíntota oblicua. Pero si el límite fuese infinito, no hay asíntota y sí rama parabólica, Una función no puede tener asíntotas horizontales y, a la vez, oblicuas.

Las funciones polinómicas racionales con asíntota oblicua tienen un grado más en el numerador que en el denominador.

Una asíntota oblicua puede cortar a la gráfica de la función en uno o más puntos.

Conclusión

• Se puede decir que el concepto de limites algo muy extenso ya que tiene varios tipos de limites y unas normas que se deben cumplir para poder encontrar los limites correctamente.
• En este blog esta redactado de forma teórica  lo relacionado con relación con el tema de limites, sabiendo esto con esta información podemos descifrar un limite.
• El calculo diferencial se apoya en el concepto de limites, el limite es una herramienta fundamental en el calculo diferencial por su función que es describir el comportamiento de una función con forme nos acercamos a un valor determinado en la función. 

Mapa conceptual de limites

Hipervínculo

Límites - Universo Formulas